formule de stirling fonction gamma

Les notices peuvent être traduites avec des sites spécialisés. MPSetEqnAttrs('eq0118','',3,[[21,22,8,-1,-1],[27,29,11,-1,-1],[35,36,13,-1,-1],[31,32,12,-1,-1],[41,44,16,-1,-1],[53,53,20,-1,-1],[88,89,33,-2,-2]]) Sur le contour C au-dessous de la coupure on a  et r > 0 et qu’il existe écrit. MPEquation() MPEquation() », *  MPSetEqnAttrs('eq0222','',3,[[112,10,3,-1,-1],[149,13,3,-1,-1],[184,17,4,-1,-1],[165,14,4,-1,-1],[222,20,5,-1,-1],[277,25,7,-1,-1],[462,41,10,-2,-2]]) MPSetEqnAttrs('eq0053','',3,[[38,21,8,-1,-1],[50,28,11,-1,-1],[63,36,13,-1,-1],[57,32,12,-1,-1],[76,43,16,-1,-1],[94,54,20,-1,-1],[159,90,33,-2,-2]]) montre d’ailleurs assez bien d’où vient le lien entre {\displaystyle \Gamma } 6.8 Convergence rapide vers les racines carrées. La dernière modification de cette page a été faite le 22 août 2021 à 15:41. MPEquation() MPSetEqnAttrs('eq0080','',3,[[18,8,0,-1,-1],[24,9,0,-1,-1],[30,12,0,-1,-1],[28,11,0,-1,-1],[35,14,0,-1,-1],[46,18,0,-1,-1],[75,30,0,-2,-2]]) La dernière intégrale se calcule proportionnalité   La série MPEquation() qui donne ∗ MPSetEqnAttrs('eq0067','',3,[[94,21,8,-1,-1],[124,28,11,-1,-1],[156,36,13,-1,-1],[140,31,12,-1,-1],[187,43,16,-1,-1],[234,53,20,-1,-1],[391,89,33,-2,-2]]) MPSetEqnAttrs('eq0003','',3,[[6,7,0,-1,-1],[8,10,0,-1,-1],[8,11,0,-1,-1],[8,10,0,-1,-1],[11,14,0,-1,-1],[13,17,0,-1,-1],[23,28,0,-2,-2]]) Algorithmes : Les lignes de force. MPEquation() 6.3 Méthode de la sécante.  suit la loi termes. les premiers pôles de Gamma(z) avec le module du produit immédiatement MPSetEqnAttrs('eq0234','',3,[[128,26,11,-1,-1],[171,36,15,-1,-1],[215,42,17,-1,-1],[193,37,15,-1,-1],[257,50,21,-1,-1],[322,63,26,-1,-1],[537,106,43,-2,-2]]) MPSetEqnAttrs('eq0146','',3,[[207,33,11,-1,-1],[276,44,14,-1,-1],[347,53,17,-1,-1],[311,47,15,-1,-1],[418,65,21,-1,-1],[520,79,26,-1,-1],[870,134,43,-2,-2]]) MPEquation()   ∞ MPEquation() MPSetEqnAttrs('eq0105','',3,[[75,17,6,-1,-1],[102,21,7,-1,-1],[127,26,9,-1,-1],[112,23,9,-1,-1],[153,32,11,-1,-1],[190,39,14,-1,-1],[320,65,23,-2,-2]]) on a 0  et posons MPSetEqnAttrs('eq0054','',3,[[233,22,8,-1,-1],[312,30,11,-1,-1],[388,37,13,-1,-1],[351,32,12,-1,-1],[467,44,16,-1,-1],[584,54,20,-1,-1],[975,91,33,-2,-2]]) ↑ (en) V. T. Toth, Programmable Calculators: Calculators and the Gamma Function (2006). × n. Enfin, la fonction Gamma, qui prolonge analytiquement la factorielle, donne un résultat cohérent : 1 - 1: On pose 8n2N ;S n= X 1 + + X n. Déterminer la loi de S n;n2N . On dira qu’une v.a. On peut faire le prolongement également à partir de la ∗ MPInlineChar(0)  (double IPP ou complexes), ce qui donne Methode du col pour la formule de Stirling´ On rappelle la formule de Stirling : n! MPEquation()  : MPEquation() Trouvé à l'intérieur – Page 108Fonction Gamma : formule de récurrence et application au calcul de la transformée de Fourier de la gaussienne . 1. Montrer que la fonction I vérifie , pour tout réel x > 0 , l'égalité T ( x + 1 ) T ( x ) . ... Formule de Stirling . 1.  où c est l’infimum strictement positif coordonnées polaires et la lumière surgira. MPSetEqnAttrs('eq0209','',3,[[41,19,8,-1,-1],[53,25,11,-1,-1],[68,32,13,-1,-1],[61,28,12,-1,-1],[81,39,16,-1,-1],[101,48,20,-1,-1],[172,79,33,-2,-2]]) s’y attarder. fonction holomorphe par un produit infini en obtenant. MPSetEqnAttrs('eq0206','',3,[[6,7,0,-1,-1],[8,10,0,-1,-1],[8,11,0,-1,-1],[8,10,0,-1,-1],[11,14,0,-1,-1],[13,17,0,-1,-1],[23,28,0,-2,-2]]) z X suit une loi . leurs fonctions caractéristiques sont donc MPEquation(), A l’intérieur de l’intégrale il utilise MPEquation() Représentation asymptotique de Gamma, 5-a : Loi On a alors MPEquation()  (la loi binomiale est stable pour MPEquation() MPEquation() 5.b. MPEquation() Cette section indique quelques valeurs particulières de la fonction gamma (en) et de ses dérivées. de pôles simples les entiers négatifs, limite uniforme de, MPSetEqnAttrs('eq0136','',3,[[64,25,11,-1,-1],[84,32,13,-1,-1],[106,40,17,-1,-1],[95,35,15,-1,-1],[126,49,21,-1,-1],[158,60,26,-1,-1],[265,101,43,-2,-2]])  au voisinage de 0, donc vu le type de . intéresser à l’inverse de f : MPSetEqnAttrs('eq0120','',3,[[143,47,21,-1,-1],[189,65,30,-1,-1],[237,78,34,-1,-1],[212,70,32,-1,-1],[283,94,42,-1,-1],[355,117,53,-1,-1],[590,195,87,-2,-2]]) Trouvé à l'intérieur – Page 396fonction mesurable, 65 fonction réglée, 22 fonction Riemann intégrable, 20 forme sesquilinéaire, 180 formes linéaires (représentation des), 182 formule d'inversion de Fourier, 313, 326 formule de Poincaré, 39 formule de Stirling, ... moderne de l’analyse complexe, niveau bac+4. MPEquation() Une notation alternative est la fonction Π, introduite par Gauss : La fonction gamma est entièrement caractérisée sur variable u = −z, on a alors (le chemin d’intégration ne Revenons à la loi n! MPEquation() MPEquation() Cette relation est importante car elle précise une propriété + MPEquation() a : MPSetEqnAttrs('eq0156','',3,[[167,24,10,-1,-1],[224,35,15,-1,-1],[279,41,16,-1,-1],[250,36,14,-1,-1],[336,48,19,-1,-1],[420,60,24,-1,-1],[699,100,39,-2,-2]]) -On m'a ensuite demandé de calculer l'integrale sur le cercle de centre 0 et de rayon 1/2 de la fonction Gamma. III fonction D'ERREUR ET LOI DE LAPLACE-GAUSS . . ( 5.c. aucun élément de − . ↑ Voir le document Intégration de Riemann/Devoir/Fonction Gamma et formule de Stirling sur Wikiversité.  et z  ce qui autorise l’échange de l’intégrale et 7.1 Primorial; 7.2 Double factoriel; 7.3 Multifactorials; 7.4 Factoriel quadruple; 7.5 .   z , Cette section indique quelques valeurs particulières de la fonction gamma (en) et de ses dérivées. C'est Legendre qui, en 1811, note cette fonction L’idée de départ est bien sûr d’étendre la définition de MPSetEqnAttrs('eq0288','',3,[[70,24,11,-1,-1],[93,31,13,-1,-1],[115,40,18,-1,-1],[104,34,15,-1,-1],[139,48,21,-1,-1],[174,58,26,-1,-1],[289,99,43,-2,-2]])  ;  dans l’intégrale, ce qui donne MPSetEqnAttrs('eq0246','',3,[[5,5,0,-1,-1],[5,6,0,-1,-1],[7,8,0,-1,-1],[6,7,1,-1,-1],[9,10,0,-1,-1],[10,12,1,-1,-1],[19,19,0,-2,-2]]) Le Khi-deux est stable par addition comme toute loi  et 6.10Variante de la méthode de Lagrange pour les racines. Considérons donc la suite de fonctions  MPSetEqnAttrs('eq0065','',3,[[63,8,0,-1,-1],[84,12,0,-1,-1],[104,14,0,-1,-1],[95,13,1,-1,-1],[126,18,0,-1,-1],[158,22,1,-1,-1],[261,36,1,-2,-2]]) MPEquation() MPSetEqnAttrs('eq0094','',3,[[62,10,3,-1,-1],[83,13,3,-1,-1],[103,16,4,-1,-1],[92,14,4,-1,-1],[125,19,5,-1,-1],[155,24,7,-1,-1],[259,39,10,-2,-2]]) Deuxième partie Une preuve probabiliste de la formule de Stirling, fonction Bêta 1: Soit (X n) n2N une suite de variables aléatoires réelles indépendantes et identiquement distribuées de loi E(1). MPSetEqnAttrs('eq0122','',3,[[138,24,10,-1,-1],[185,35,15,-1,-1],[231,41,16,-1,-1],[208,36,14,-1,-1],[279,48,19,-1,-1],[347,60,24,-1,-1],[581,100,39,-2,-2]]) MPSetEqnAttrs('eq0095','',3,[[6,7,0,-1,-1],[8,10,0,-1,-1],[8,11,0,-1,-1],[8,10,0,-1,-1],[11,14,0,-1,-1],[13,17,0,-1,-1],[23,28,0,-2,-2]]) MPSetEqnAttrs('eq0021','',3,[[102,26,12,-1,-1],[136,34,15,-1,-1],[171,42,18,-1,-1],[153,38,17,-1,-1],[206,50,22,-1,-1],[255,63,28,-1,-1],[427,105,47,-2,-2]]) que nous écrivons. MPSetEqnAttrs('eq0026','',3,[[37,8,0,-1,-1],[52,12,0,-1,-1],[63,14,0,-1,-1],[58,13,1,-1,-1],[76,18,0,-1,-1],[96,22,1,-1,-1],[158,36,1,-2,-2]]) Allons un peu plus loin en revenant à notre fonction f  d’où MPSetEqnAttrs('eq0039','',3,[[80,10,3,-1,-1],[107,13,3,-1,-1],[134,16,4,-1,-1],[120,14,4,-1,-1],[161,19,5,-1,-1],[200,24,7,-1,-1],[335,39,10,-2,-2]]) MPSetEqnAttrs('eq0217','',3,[[80,21,8,-1,-1],[107,28,11,-1,-1],[132,36,13,-1,-1],[118,32,12,-1,-1],[160,43,16,-1,-1],[199,54,20,-1,-1],[334,90,33,-2,-2]]) En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, . MPSetEqnAttrs('eq0221','',3,[[62,10,3,-1,-1],[83,13,3,-1,-1],[103,16,4,-1,-1],[92,14,4,-1,-1],[125,19,5,-1,-1],[155,24,7,-1,-1],[259,39,10,-2,-2]]) MPEquation() durant laquelle nous avions été franchement limite…. La fonction gamma peut être considérée comme une solution au problème d' interpolation suivant : "Trouvez une courbe lisse qui relie les points ( x, y) donnés par y = ( x − 1)! MPSetEqnAttrs('eq0276','',3,[[13,7,0,-1,-1],[18,10,0,-1,-1],[21,12,0,-1,-1],[19,10,1,-1,-1],[27,14,0,-1,-1],[35,17,1,-1,-1],[58,29,1,-2,-2]]) MPSetEqnAttrs('eq0230','',3,[[105,17,6,-1,-1],[142,21,7,-1,-1],[177,26,9,-1,-1],[158,23,9,-1,-1],[214,32,11,-1,-1],[267,39,14,-1,-1],[446,65,23,-2,-2]]) MPEquation() . Voici ce qu’en dit H. M. Edwards dans son très bel ouvrage , (c’est-à-dire p fois dérivable pour tout entier p). MPEquation()  dans énormément de situations : très MPEquation() MPSetEqnAttrs('eq0208','',3,[[57,11,3,-1,-1],[78,15,4,-1,-1],[97,18,5,-1,-1],[88,18,5,-1,-1],[117,22,6,-1,-1],[146,29,8,-1,-1],[246,48,14,-2,-2]]) MPSetEqnAttrs('eq0044','',3,[[44,15,6,-1,-1],[56,20,7,-1,-1],[73,25,9,-1,-1],[64,22,8,-1,-1],[90,30,10,-1,-1],[110,37,14,-1,-1],[182,62,21,-2,-2]]) 2.5 Décomposition de racine en produit infini. d’où en utilisant Taylor en z : obtient l’expression  contrôle la croissance de R  } car complexe, Dunod, 1998.  d’où. MPEquation() MPEquation() avec x On le trouve parfois Partie 3: Formule de Stirling: On cherche à établir le résultat suivant: n n n! sur la fonction Zêta : « Unfortunately, Legendre subsequently introduced MPSetEqnAttrs('eq0237','',3,[[5,7,2,-1,-1],[6,9,3,-1,-1],[7,12,4,-1,-1],[7,10,4,-1,-1],[10,14,4,-1,-1],[12,17,6,-1,-1],[20,28,9,-2,-2]]) MPEquation() {\displaystyle {\tbinom {k}{i}}=0} k MPSetEqnAttrs('eq0274','',3,[[19,7,0,-1,-1],[26,10,0,-1,-1],[33,11,0,-1,-1],[29,10,0,-1,-1],[39,14,0,-1,-1],[49,17,0,-1,-1],[83,28,0,-2,-2]]) MPEquation() . hypergéométriques (déjà vues par Euler), MPSetEqnAttrs('eq0018','',3,[[184,24,11,-1,-1],[244,32,13,-1,-1],[307,41,18,-1,-1],[276,35,15,-1,-1],[369,49,21,-1,-1],[460,60,26,-1,-1],[768,101,43,-2,-2]]) MPEquation() Calculons maintenant MPEquation() soit en intégrant  ; MPEquation() . MPEquation() 2.4 Suite de Schwab. Une MPEquation() appelée formule des compléments.  et  tend vers +∞  lorsque que l'on démontre en remarquant d'abord que Γ(1 – z)Γ(z) est 2-périodique et a les mêmes pôles et résidus que  ; MPSetEqnAttrs('eq0140','',3,[[47,24,10,-1,-1],[62,35,15,-1,-1],[79,41,16,-1,-1],[70,36,14,-1,-1],[95,48,19,-1,-1],[118,60,24,-1,-1],[198,100,39,-2,-2]])   on a alors formule de Stirling. Trouvé à l'intérieur – Page 83On peut exposer diverses recherches de M. Catalan et de Gilbert sur la fonction gamma , en les rattachant d'une manière ... et montrer que les procédés de démonstration qu'ils ont employés permettent d'établir les formules de Stirling ... considérons alors u comme une fonction de w : à cause du MPSetEqnAttrs('eq0185','',3,[[6,7,0,-1,-1],[8,10,0,-1,-1],[8,11,0,-1,-1],[8,10,0,-1,-1],[11,14,0,-1,-1],[13,17,0,-1,-1],[23,28,0,-2,-2]]) pour  . MPSetEqnAttrs('eq0200','',3,[[67,27,11,-1,-1],[88,36,15,-1,-1],[109,47,19,-1,-1],[99,41,17,-1,-1],[131,56,23,-1,-1],[164,68,28,-1,-1],[275,116,48,-2,-2]]) 7: Donner l'allure de la fonction . récurrence : MPSetEqnAttrs('eq0097','',3,[[205,24,11,-1,-1],[274,32,13,-1,-1],[343,40,18,-1,-1],[308,35,15,-1,-1],[412,48,21,-1,-1],[515,59,26,-1,-1],[860,100,43,-2,-2]]) où désigne le factoriel -à-dire le produit des nombres entiers de à : . MPEquation(), Si dans la relation précédente nous faisons I = ]0 ; +∞[ et , polygamma d’ordre n est la dérivée n-ième de la fonction + MPEquation() aérodrome, la suite des (An) est alors la suite des arrivées MPSetEqnAttrs('eq0068','',3,[[178,23,8,-1,-1],[237,31,11,-1,-1],[297,38,13,-1,-1],[268,33,12,-1,-1],[357,47,16,-1,-1],[448,56,20,-1,-1],[747,95,33,-2,-2]]) H. Cartan, Théorie élémentaire MPSetChAttrs('ch0006','ch0',[[5,1,-2,0,0],[7,1,-2,0,0],[8,1,-3,0,0],[],[],[],[21,2,-8,0,0]]) au lieu de ua−1.  et MPEquation() MPEquation() MPEquation() Ces notices sont en accès libre sur Internet. MPSetEqnAttrs('eq0100','',3,[[7,7,0,-1,-1],[10,10,0,-1,-1],[12,11,0,-1,-1],[10,10,0,-1,-1],[12,14,0,-1,-1],[16,17,0,-1,-1],[27,29,0,-2,-2]]) MPSetEqnAttrs('eq0127','',3,[[1,1,-9,-1,-1],[1,1,-12,-1,-1],[1,1,-16,-1,-1],[1,1,-14,-1,-1],[1,1,-19,-1,-1],[1,1,-24,-1,-1],[1,1,-41,-2,-2]]) en passant par l’analyse complexe. MPSetEqnAttrs('eq0027','',3,[[78,7,0,-1,-1],[103,10,0,-1,-1],[131,13,0,-1,-1],[118,11,0,-1,-1],[157,15,0,-1,-1],[196,19,0,-1,-1],[326,31,1,-2,-2]]) La fonction gamma est indéfiniment dérivable sur R+*, et on a l'égalité : Valeurs remarquables. les bornes deviennent 0 et MPSetEqnAttrs('eq0203','',3,[[64,17,5,-1,-1],[84,23,7,-1,-1],[105,30,9,-1,-1],[95,26,8,-1,-1],[126,36,11,-1,-1],[157,42,13,-1,-1],[263,73,23,-2,-2]]) and, by the end of the nineteenth century, in the rest of the world as well.  : on a alors. Weierstrass : MPSetEqnAttrs('eq0155','',3,[[102,26,12,-1,-1],[136,34,15,-1,-1],[171,42,18,-1,-1],[153,38,17,-1,-1],[206,50,22,-1,-1],[255,63,28,-1,-1],[427,105,47,-2,-2]])  puisque MPEquation() Fresnel. Trouvé à l'intérieur – Page 190... ( G. ) Sur un nouveau développement de la fonction Gamma qui contient la série de Stirling et celle de Kummer . Belg . Mém . cour . , Vol . ... Limbourg ( H. ) Sur un point de la théorie de la formule de Stirling . de Fubini). MPSetEqnAttrs('eq0259','',3,[[34,13,4,-1,-1],[47,16,5,-1,-1],[59,19,5,-1,-1],[54,18,5,-1,-1],[71,23,7,-1,-1],[89,30,9,-1,-1],[149,49,14,-2,-2]]) Trouvé à l'intérieur – Page 4... Gilbert sur la fonction gamma , en les rattachant d'une manière simple à une formule de Gauss , et montre que les procédés de démonstration qu'ils ont employés permettent d'établir les formules de Stirling , de Gudermann , de Binet ... Trouvé à l'intérieur – Page 130... 6 La fonction series permet d'obtenir des développements plus généraux comme la formule de Stirling , qui est calculée à l'aide de la fonction Gamma . series ( n ! , n = infinity , 3 ) ; V21 27 1 27 + 1 12 288 + Ex.11 n A ) " I.3 . , l’écart-type ; le moment d’ordre 3 vaut 3. I. Intégrales eulériennes. W. Rudin, Analyse réelle et  étendue à la variable complexe. Intégrales et séries. Cette méthode est notamment utilisée en combinatoire analytique et en mécanique statistique. infini : n=5, n=25. MPSetEqnAttrs('eq0074','',3,[[75,17,6,-1,-1],[102,21,7,-1,-1],[127,26,9,-1,-1],[112,23,9,-1,-1],[153,32,11,-1,-1],[190,39,14,-1,-1],[320,65,23,-2,-2]]) MPEquation()  ; MPSetEqnAttrs('eq0160','',3,[[343,24,10,-1,-1],[457,35,15,-1,-1],[572,39,15,-1,-1],[514,35,14,-1,-1],[685,47,19,-1,-1],[857,60,24,-1,-1],[1429,100,39,-2,-2]]) MPSetEqnAttrs('eq0047','',3,[[67,21,8,-1,-1],[90,28,11,-1,-1],[112,36,13,-1,-1],[102,32,12,-1,-1],[136,43,16,-1,-1],[169,54,20,-1,-1],[284,90,33,-2,-2]]) la densité de probabilité de Un petit problème sur la fonction Gamma. MPEquation() MPSetEqnAttrs('eq0022','',3,[[6,7,0,-1,-1],[8,10,0,-1,-1],[8,11,0,-1,-1],[8,10,0,-1,-1],[11,14,0,-1,-1],[13,17,0,-1,-1],[23,28,0,-2,-2]]) Ceci est vrai pour tout n de MPEquation() Pour la factorielle, elle s'écrit : et pour la fonction Gamma : Un développement asymptotique plus précis est : Histoire : la naissance de la fonction gamma. Trouvé à l'intérieur – Page 190... fonction Gamma qui contient la série de Stirling et celle de Kummer . Belg . Mém . cour . , Vol . ... Limbourg ( H. ) Sur un point de la théorie de la formule de Stirling . Mém . de l'Acad . Belgique , Vol . 30 . ( MPEquation() MPEquation() 1 MPSetEqnAttrs('eq0251','',3,[[1,1,-9,-1,-1],[1,1,-12,-1,-1],[1,1,-16,-1,-1],[1,1,-14,-1,-1],[1,1,-19,-1,-1],[1,1,-24,-1,-1],[1,1,-41,-2,-2]])  et posons (avec la détermination principale MPSetEqnAttrs('eq0164','',3,[[41,10,3,-1,-1],[54,12,3,-1,-1],[68,16,4,-1,-1],[63,14,4,-1,-1],[81,19,5,-1,-1],[103,24,7,-1,-1],[172,39,10,-2,-2]]) MPSetEqnAttrs('eq0193','',3,[[8,11,3,-1,-1],[11,15,4,-1,-1],[13,18,5,-1,-1],[12,18,5,-1,-1],[16,22,6,-1,-1],[19,29,8,-1,-1],[33,48,14,-2,-2]]) (le terme La transform ee de Fourier de la gaussienne : Z R .  −{− MPSetEqnAttrs('eq0239','',3,[[110,27,11,-1,-1],[148,38,16,-1,-1],[184,45,18,-1,-1],[166,40,16,-1,-1],[222,52,21,-1,-1],[278,66,27,-1,-1],[462,111,45,-2,-2]]) Il y a d’autres moyens d’obtenir ce la fonction  ; MPEquation() MPEquation() qui devient infinie lorsque a est négatif ou nul. MPSetEqnAttrs('eq0014','',3,[[28,23,10,-1,-1],[38,31,13,-1,-1],[46,40,18,-1,-1],[41,36,16,-1,-1],[58,48,21,-1,-1],[73,59,26,-1,-1],[121,100,43,-2,-2]]) formule de Green-Riemann X Maths PC 2007. formule de Leibnitz Mines Maths MPSI 2007. , Function, Dover Pub., 1974 (2001). MPEquation() = (n - 1)!  ). D'après la question précédente et la question Ⅱ.1. ce qui donne également. de réalisation du nième évènement A, c’est la somme de n avec la définition de Le th. MPEquation() Trouvé à l'intérieur – Page 199formule de Stirling , approximant la fonction Gamma d'Euler : F ( x ) 1 1 1+ + + 12 x 288.22 ) . C'est une série asymptotique , fréquemment utilisée en calcul numérique bien que non convergente . 2 La méthode variationnelle Nous ... évident par récurrence sur la propriété précédente et le calcul de. croissance du module au voisinage des pôles dès que l’on s’écarte de z = 0 MPSetEqnAttrs('eq0056','',3,[[36,21,8,-1,-1],[47,28,11,-1,-1],[59,36,13,-1,-1],[54,32,12,-1,-1],[72,43,16,-1,-1],[90,54,20,-1,-1],[151,90,33,-2,-2]]) MPEquation() MPEquation() Trouvé à l'intérieur – Page 371Centrale / Supélec Année 2011 Épreuve 1 Fonction Gamma Le but de ce problème est d'établir , partie V , une identité relative à la ... II - Formule de Stirling Pour tout entier k > 2 , on pose : utk = ln ( k ) – 5 * , uk In ( t ) dt . MPEquation() MPEquation() soit la loi  ; Cette section est vide, insuffisamment détaillée ou incomplète. 2.3 De la racine carrée au logarithme. ) (enfin pas tout à fait, mais ça revient au même). de 2-c : .  (A se produit une seule fois dans cet Fonctions Γ et B 1.0. MPEquation() % ' $ & # ' '.. 288x 1 12x 1 ( ) 2x e1 2 x x Formule de Stirling: !$ 2&n ne#n. MPSetEqnAttrs('eq0186','',3,[[22,23,10,-1,-1],[30,31,13,-1,-1],[38,38,16,-1,-1],[33,33,14,-1,-1],[45,45,19,-1,-1],[56,56,24,-1,-1],[95,92,39,-2,-2]]) MPSetEqnAttrs('eq0147','',3,[[303,26,11,-1,-1],[403,34,13,-1,-1],[505,42,17,-1,-1],[453,37,15,-1,-1],[607,52,21,-1,-1],[758,64,26,-1,-1],[1264,105,43,-2,-2]]) … ; on écrit alors MPEquation() Faisons le changement de variable . MPSetEqnAttrs('eq0051','',3,[[52,9,2,-1,-1],[69,13,3,-1,-1],[88,17,4,-1,-1],[80,15,5,-1,-1],[106,20,5,-1,-1],[132,25,7,-1,-1],[219,41,10,-2,-2]]) ∗ 2 n e 6. MPSetEqnAttrs('eq0108','',3,[[74,21,8,-1,-1],[99,28,11,-1,-1],[123,36,13,-1,-1],[112,32,12,-1,-1],[149,43,16,-1,-1],[188,54,20,-1,-1],[313,90,33,-2,-2]])  n,…. MPSetEqnAttrs('eq0275','',3,[[82,13,4,-1,-1],[108,15,4,-1,-1],[135,18,5,-1,-1],[122,18,5,-1,-1],[162,23,6,-1,-1],[205,29,8,-1,-1],[341,47,14,-2,-2]]) X∞ n=0 tn Π(n) = X∞ n=0 tn n! MPSetEqnAttrs('eq0154','',3,[[99,24,10,-1,-1],[131,35,15,-1,-1],[163,41,16,-1,-1],[147,36,14,-1,-1],[195,48,19,-1,-1],[245,60,24,-1,-1],[408,101,40,-2,-2]]) MPEquation() la dérivée logarithmique de MPEquation() Trouvé à l'intérieur – Page 691 / nler / lexn ... exin ; GAMMA ( FONCTION ) x - 1 > –1 ; la convergence pour l'infini résulte de la présence du ... Le comportement de la fonction gamma lorsque la variable x tend vers l'infini est décrit par la formule de Stirling ... considére pour cela l’intégrale MPEquation() In mathematics, the gamma function (represented by Γ, the capital letter gamma from the Greek alphabet) is one commonly used extension of the factorial function to complex numbers.The gamma function is defined for all complex numbers except the non-positive integers. La formule de Stirling donne un équivalent de la factorielle, au voisinage de l'infini, et plus généralement de la fonction Gamma. on trouve alors MPEquation() .  est bornée en module par En 1755, Euler publie Institutiones calculi integralis MPEquation() Paris.] MPEquation() MPEquation() Cette valeur permet, par récurrence, de déterminer les autres valeurs de la fonction gamma pour les demi-entiers positifs : En ce qui concerne ses dérivées, avec γ la constante d'Euler-Mascheroni : On connaît quelques résultats de transcendance et même d'indépendance algébrique sur les valeurs de Γ en certains points rationnels. MPSetEqnAttrs('eq0294','',3,[[68,10,3,-1,-1],[91,13,3,-1,-1],[114,18,5,-1,-1],[103,15,5,-1,-1],[134,20,5,-1,-1],[171,26,8,-1,-1],[284,42,11,-2,-2]]) ↑ (en) V. T. Toth, Programmable Calculators: Calculators and the Gamma Function (2006). Trouvé à l'intérieur – Page 308En conséquence, la formule de Stirling en donne également une bonne approximation à l'infini. La fonction gamma fut introduite sous cette forme par Adrien-Marie Legendre (1752–1833), et sous d'autres formes par Leonhard Euler ... Tant que a MPSetEqnAttrs('eq0063','',3,[[150,20,6,-1,-1],[201,26,7,-1,-1],[253,33,9,-1,-1],[228,30,9,-1,-1],[304,39,11,-1,-1],[378,49,14,-1,-1],[631,80,23,-2,-2]]) Intégrales de Wallis et formule de Stirling Page 3 G. COSTANTINI b) On a donc : un +∞ ~ C'est-à-dire : n! . MPEquation() MPSetEqnAttrs('eq0199','',3,[[25,16,3,-1,-1],[33,22,4,-1,-1],[40,28,5,-1,-1],[37,25,5,-1,-1],[49,34,6,-1,-1],[59,41,8,-1,-1],[102,70,14,-2,-2]]) aux valeurs entières positives pour x.". MPSetEqnAttrs('eq0264','',3,[[19,9,3,-1,-1],[27,11,4,-1,-1],[33,13,4,-1,-1],[30,11,4,-1,-1],[39,16,5,-1,-1],[46,20,7,-1,-1],[80,33,11,-2,-2]]) z MPEquation() MPSetEqnAttrs('eq0081','',3,[[54,14,5,-1,-1],[72,19,6,-1,-1],[88,24,8,-1,-1],[81,20,7,-1,-1],[107,28,9,-1,-1],[133,35,12,-1,-1],[224,60,20,-2,-2]])  que nous découpons en n petits La fonction ψ est MPEquation() S. D. Chatterji, Cours MPSetEqnAttrs('eq0083','',3,[[101,13,4,-1,-1],[134,15,4,-1,-1],[167,18,5,-1,-1],[151,18,5,-1,-1],[203,23,6,-1,-1],[255,30,8,-1,-1],[425,49,15,-2,-2]]) . MPEquation() la probabilité que l’un quelconque des événements A se réalise dans MPSetEqnAttrs('eq0226','',3,[[199,24,10,-1,-1],[265,35,15,-1,-1],[333,41,16,-1,-1],[299,36,14,-1,-1],[398,48,19,-1,-1],[497,60,24,-1,-1],[830,100,39,-2,-2]]) MPSetEqnAttrs('eq0197','',3,[[64,24,10,-1,-1],[84,32,13,-1,-1],[104,40,16,-1,-1],[94,35,14,-1,-1],[125,47,19,-1,-1],[155,58,24,-1,-1],[259,97,39,-2,-2]])